Информация о задаче

Задача 57706

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек P₁,..., P_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что | $\overrightarrow{OP}_{1}^{}$ +...+ $\overrightarrow{OP}_{2n+1}^{}$ | $\ge$ 1.

Решение

Докажем это утверждение по индукции. Для n = 0 утверждение, очевидно, верно. Допустим, что утверждение доказано для 2n + 1 векторов. Рассмотрим в системе из 2n + 3 векторов два крайних вектора (т. е. два вектора, угол между которыми максимален). Для определенности будем считать, что это — векторы $\overrightarrow{OP_1}$ и $\overrightarrow{OP_{2n+3}}$ . По предположению индукции длина вектора $\overrightarrow{OR}$ = $\overrightarrow{OP_2}$ +...+ $\overrightarrow{OP_{2n+2}}$ не меньше 1. Вектор $\overrightarrow{OR}$ лежит внутри угла P₁OP_{2n + 3}, поэтому он образует острый угол с вектором $\overrightarrow{OS}$ = $\overrightarrow{OP_1}$ + $\overrightarrow{OP_{2n+3}}$ . Следовательно, | $\overrightarrow{OS}$ + $\overrightarrow{OR}$ | $\ge$ OR $\ge$ 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	3
Название	Неравенства
Тема	Неравенства с векторами
задача
Номер	13.024