Условие
На окружности радиуса 1 с центром
O дано 2
n + 1 точек
P1,...,
P2n + 1, лежащих по одну сторону от некоторого
диаметра. Докажите, что
|
+...+
|
1.
Решение
Докажем это утверждение по индукции. Для
n = 0 утверждение,
очевидно, верно. Допустим, что утверждение доказано для 2
n + 1
векторов. Рассмотрим в системе из 2
n + 3 векторов два
крайних вектора (т. е. два вектора, угол между которыми максимален).
Для определенности будем считать, что это — векторы
и
. По предположению индукции длина
вектора
=
+...+
не меньше 1.
Вектор
лежит внутри угла
P1OP2n + 3, поэтому он
образует острый угол с вектором
=
+
.
Следовательно,
|
+
|
OR1.
Источники и прецеденты использования
