ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57707
Тема:    [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a1,a2,...,an — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме c = ±a1±a2...±an можно выбрать знаки так, что |c|$ \le$$ \sqrt{2}$.

Решение

Докажем сначала, что если  a, b и  c — векторы, длины которых не превосходят 1, то хотя бы один из векторов a±b, a±c, b±c имеет длину, не превосходящую 1. В самом деле, два из векторов  ±a, ±b, ±c образуют угол, не превосходящий  60o, поэтому разность этих двух векторов имеет длину, не превосходящую 1 (если в треугольнике AB$ \le$1, BC$ \le$1 и  $ \angle$ABC$ \le$60o, то AC — не наибольшая сторона и AC$ \le$1).
Таким образом можно спуститься до двух векторов  a и  b. Угол между векторами  a и  b или векторами  a и  - b не превосходит  90o, поэтому либо |a - b|$ \le$$ \sqrt{2}$, либо |a + b|$ \le$$ \sqrt{2}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 3
Название Неравенства
Тема Неравенства с векторами
задача
Номер 13.025

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .