Условие
Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть Sa — окружность радиуса R с центром в ортоцентре
треугольника BCD; окружности Sb, Sc и Sd определяются
аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной
точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников
ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются
в одной точке.
Решение
Пусть O — центр описанной окружности данного четырехугольника,
a =
,
b =
,
c =
и
d =
. Если Hd — ортоцентр треугольника ABC,
то
= a + b + c (задача 13.13).
а) Возьмем точку K так, что
= a + b + c + d.
Тогда
KHd = |
-
| = |d| = R, т. е. точка K
лежит на окружности Sd. Аналогично доказывается, что точка K
лежит на окружностях Sa, Sb и Sc.
б) Пусть Od — центр окружности девяти точек треугольника ABC,
т. е. середина отрезка OHd. Тогда
=
/2 = (a + b + c)/2. Возьмем точку X так, что
= (a + b + c + d)/2. Тогда
XOd = |d|/2 = R/2,
т. е. точка X лежит на окружности девяти точек треугольника ABC.
Аналогично доказывается, что точка X лежит на окружностях девяти
точек треугольников BCD, CDA и DAB.
Источники и прецеденты использования