ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57718
Тема:    [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклый 2n-угольник A1A2...A2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

|$\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$|$\displaystyle \le$2.



Решение

Пусть a = $ \overrightarrow{A_1A_2}$ + $ \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $ \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$, причем a$ \ne$ 0. Введем систему координат, направив ось Ox вдоль вектора  a. Так как сумма проекций векторов $ \overrightarrow{A_1A_2}$,$ \overrightarrow{A_3A_4}$,...,$ \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$ на ось Oy равна нулю, то длина вектора  a равна абсолютной величине разности между суммой длин положительных проекций этих векторов на ось Ox и суммой длин их отрицательных проекций; следовательно, длина вектора  a не превосходит либо суммы длин положительных проекций векторов, либо суммы длин их отрицательных проекций. Легко проверить, что как сумма длин положительных проекций, так и сумма длин отрицательных проекций данных векторов на любую ось не превосходит диаметра окружности, т. е. не превосходит 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 5
Название Вспомогательные проекции
Тема Вспомогательные проекции
задача
Номер 13.036

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .