ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 57717

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 3
Классы: 9

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $ \alpha$ = SBXC, $ \beta$ = SCXA и  $ \gamma$ = SAXB. Пусть A1, B1 и C1 — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $ \alpha$$ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CC_1}$ равна ($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$)d, где d — расстояние от точки X до прямой l.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57718

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5
Классы: 9

Выпуклый 2n-угольник A1A2...A2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

|$\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$|$\displaystyle \le$2.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57719

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5
Классы: 9

Пусть a1, a2, ..., a2n + 1 — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a1±a2±...±a2n + 1 знаки можно выбрать так, что |c|$ \le$1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57720

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, na, nb и  nc — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a3na + b3nb + c3nc = 12S . $\displaystyle \overrightarrow{MO}$,

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57721

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .