Информация о задаче

Задача 57717

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $\alpha$ = S_BXC, $\beta$ = S_CXA и $\gamma$ = S_AXB. Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $\alpha$ $\overrightarrow{AA_1}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BB_1}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CC_1}$ равна ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )d, где d — расстояние от точки X до прямой l.

Решение

Пусть X₁ — проекция точки X на прямую l. Вектор $\alpha$ $\overrightarrow{AA_1}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BB_1}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CC_1}$ является проекцией вектора $\alpha$ $\overrightarrow{AX_1}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BX_1}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CX_1}$ на прямую, перпендикулярную прямой l. Учитывая, что $\alpha$ $\overrightarrow{AX_1}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BX_1}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CX_1}$ = $\alpha$ $\overrightarrow{AX}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BX}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CX}$ + ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ ) $\overrightarrow{XX_1}$ и $\alpha$ $\overrightarrow{AX}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BX}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CX}$ = $\overrightarrow{0}$ (задача 13.29), получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	5
Название	Вспомогательные проекции
Тема	Вспомогательные проекции
задача
Номер	13.035