ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57717
Тема:    [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $ \alpha$ = SBXC, $ \beta$ = SCXA и  $ \gamma$ = SAXB. Пусть A1, B1 и C1 — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $ \alpha$$ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CC_1}$ равна ($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$)d, где d — расстояние от точки X до прямой l.

Решение

Пусть X1 — проекция точки X на прямую l. Вектор $ \alpha$$ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CC_1}$ является проекцией вектора $ \alpha$$ \overrightarrow{AX_1}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BX_1}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CX_1}$ на прямую, перпендикулярную прямой l. Учитывая, что $ \alpha$$ \overrightarrow{AX_1}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BX_1}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CX_1}$ = $ \alpha$$ \overrightarrow{AX}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BX}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CX}$ + ($ \alpha$+$ \beta$+$ \gamma$)$ \overrightarrow{XX_1}$ и  $ \alpha$$ \overrightarrow{AX}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BX}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CX}$ = $ \overrightarrow{0}$ (задача 13.29), получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 5
Название Вспомогательные проекции
Тема Вспомогательные проекции
задача
Номер 13.035

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .