Задача 57719

Тема:    [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Пусть a₁, a₂, ..., a_{2n + 1} — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂±...±a_{2n + 1} знаки можно выбрать так, что |c|1.

Решение

Изменив нумерацию данных векторов и при необходимости меняя вектор x на - x, можно считать, что концы векторов a₁, a₂, ..., a_{2n + 1}, ..., - a₁, - a₂, ..., - a_{2n + 1}, выходящих из одной точки, являются вершинами выпуклого (4n + 2)-угольника A₁A₂...A_{4n + 2}. При этом = a₁ - a₂, = a₃ - a₄, ..., = a_{2n - 1} - a_2n, = a_{2n + 1} + a₁, = - a₂ + a₃, = - a₄ + a₅, ..., = - a_2n + a_{2n + 1}. Согласно задаче 13.36 длина суммы этих векторов не превосходит 2. С другой стороны, сумма этих векторов равна 2(a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + ... + a_{2n + 1}).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	5
Название	Вспомогательные проекции
Тема	Вспомогательные проекции
задача
Номер	13.036B