ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57719
Тема:    [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a1, a2, ..., a2n + 1 — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a1±a2±...±a2n + 1 знаки можно выбрать так, что |c|$ \le$1.

Решение

Изменив нумерацию данных векторов и при необходимости меняя вектор x на - x, можно считать, что концы векторов a1, a2, ..., a2n + 1, ..., - a1, - a2, ..., - a2n + 1, выходящих из одной точки, являются вершинами выпуклого (4n + 2)-угольника A1A2...A4n + 2. При этом $ \overrightarrow{A_1A_2}$ = a1 - a2, $ \overrightarrow{A_3A_4}$ = a3 - a4, ..., $ \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$ = a2n - 1 - a2n, $ \overrightarrow{A_{2n+1}A_{2n+2}}$ = a2n + 1 + a1, $ \overrightarrow{A_{2n+3}A_{2n+4}}$ = - a2 + a3, $ \overrightarrow{A_{2n+5}A_{2n+6}}$ = - a4 + a5, ..., $ \overrightarrow{A_{4n+1}A_{4n+2}}$ = - a2n + a2n + 1. Согласно задаче 13.36 длина суммы этих векторов не превосходит 2. С другой стороны, сумма этих векторов равна 2(a1 - a2 + a3 - a4 + ... + a2n + 1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 5
Название Вспомогательные проекции
Тема Вспомогательные проекции
задача
Номер 13.036B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .