ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57721
Тема:    [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.

Решение

Пусть вписанная окружность касается сторон AB, BC и CA в точках U, V и W. Требуется доказать, что $ \overrightarrow{OZ}$ = $ {\frac{3R}{r}}$$ \overrightarrow{ZK}$, т. е. $ \overrightarrow{OZ}$ = $ {\frac{R}{r}}$($ \overrightarrow{ZU}$ + $ \overrightarrow{ZV}$ + $ \overrightarrow{ZW}$). Докажем, например, что проекции (с учетом знака) этих векторов на прямую BC равны; положительным при этом будем считать направление луча BC. Пусть N — проекция точки O на прямую BC. Тогда проекция вектора $ \overrightarrow{OZ}$ на прямую BC равна $ \overrightarrow{NV}$ = $ \overrightarrow{NC}$ + $ \overrightarrow{CV}$ = (a/2) - (a + b - c)/2 = (c - b)/2. А проекция вектора $ \overrightarrow{ZU}$ + $ \overrightarrow{ZV}$ + $ \overrightarrow{ZW}$ на эту прямую равна проекции вектора $ \overrightarrow{ZU}$ + $ \overrightarrow{ZW}$, т. е. равна

- r sin VZU + r sin VZW = - r sin B + r sin C = r(c - b)/2R.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 5
Название Вспомогательные проекции
Тема Вспомогательные проекции
задача
Номер 13.038

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .