|
|
 |
Условие
Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности
треугольника ABC, Z и r — центр и радиус
его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан
треугольника с вершинами в точках касания вписанной
окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите,
что точка Z лежит на отрезке OK, причем
OZ : ZK = 3R : r.
Решение
Пусть вписанная окружность касается сторон AB, BC
и CA в точках U, V и W. Требуется доказать, что
=
, т. е.
=
(
+
+
). Докажем, например, что проекции (с учетом знака)
этих векторов на прямую BC равны; положительным при этом будем
считать направление луча BC. Пусть N — проекция точки O
на прямую BC. Тогда проекция вектора
на прямую BC
равна
=
+
= (a/2) - (a + b - c)/2 = (c - b)/2.
А проекция вектора
+
+
на эту прямую
равна проекции вектора
+
, т. е. равна
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 13 |
| Название | Векторы |
| Тема | Векторы |
| параграф | |
| Номер | 5 |
| Название | Вспомогательные проекции |
| Тема | Вспомогательные проекции |
| задача | |
| Номер | 13.038 |
