ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57720
Тема:    [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, na, nb и  nc — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a3na + b3nb + c3nc = 12S . $\displaystyle \overrightarrow{MO}$,

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Для доказательства равенства векторов достаточно проверить равенство их проекций (с учетом знака) на прямые BC, CA и AB. Доказательство проведем, например, для проекций на прямую BC; положительным при этом будем считать направление луча BC. Пусть P — проекция точки A на прямую BC, N — середина отрезка BC. Тогда $ \overrightarrow{PN}$ = $ \overrightarrow{PC}$ + $ \overrightarrow{CN}$ = (b2 + a2 - c2)/2a - (a/2) = (b2 - c2)/2a (PC находится из уравнения AB2 - BP2 = AC2 - CP2). Так как NM : NA = 1 : 3, то проекция вектора $ \overrightarrow{MO}$ на прямую BC равна $ \overrightarrow{PN}$/3 = (b2 - c2)/6a. Остается заметить, что проекция вектора a3na + b3nb + c3nc на прямую BC равна

b3sin$\displaystyle \gamma$ - c3sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{b^3 c-c^3 b}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{abc}{2R}}$ . $\displaystyle {\frac{b^2-c^2}{a}}$ = 2S $\displaystyle {\frac{b^2-c^2}{a}}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 5
Название Вспомогательные проекции
Тема Вспомогательные проекции
задача
Номер 13.037

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .