Задача 57720

Тема:    [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и  n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a³n_a + b³n_b + c³n_c = 12S ^. ,

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Для доказательства равенства векторов достаточно проверить равенство их проекций (с учетом знака) на прямые BC, CA и AB. Доказательство проведем, например, для проекций на прямую BC; положительным при этом будем считать направление луча BC. Пусть P — проекция точки A на прямую BC, N — середина отрезка BC. Тогда = + = (b² + a² - c²)/2a - (a/2) = (b² - c²)/2a (PC находится из уравнения AB² - BP² = AC² - CP²). Так как NM : NA = 1 : 3, то проекция вектора на прямую BC равна /3 = (b² - c²)/6a. Остается заметить, что проекция вектора a³n_a + b³n_b + c³n_c на прямую BC равна

b³sin - c³sin = = ^. = 2S .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	5
Название	Вспомогательные проекции
Тема	Вспомогательные проекции
задача
Номер	13.037