Информация о задаче

Задача 57720

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a³n_a + b³n_b + c³n_c = 12S^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ ,

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Для доказательства равенства векторов достаточно проверить равенство их проекций (с учетом знака) на прямые BC, CA и AB. Доказательство проведем, например, для проекций на прямую BC; положительным при этом будем считать направление луча BC. Пусть P — проекция точки A на прямую BC, N — середина отрезка BC. Тогда $\overrightarrow{PN}$ = $\overrightarrow{PC}$ + $\overrightarrow{CN}$ = (b² + a² - c²)/2a - (a/2) = (b² - c²)/2a (PC находится из уравнения AB² - BP² = AC² - CP²). Так как NM : NA = 1 : 3, то проекция вектора $\overrightarrow{MO}$ на прямую BC равна $\overrightarrow{PN}$ /3 = (b² - c²)/6a. Остается заметить, что проекция вектора a³n_a + b³n_b + c³n_c на прямую BC равна

b³sin $\displaystyle \gamma$ - c³sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{b^3 c-c^3 b}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{abc}{2R}}$ ^. $\displaystyle {\frac{b^2-c^2}{a}}$ = 2S $\displaystyle {\frac{b^2-c^2}{a}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	5
Название	Вспомогательные проекции
Тема	Вспомогательные проекции
задача
Номер	13.037