Информация о задаче

Задача 57724

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна L. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше L/ $\pi$ .

Решение

Если сумма длин векторов равна L, то согласно замечанию к задаче 13.39 среднее значение суммы длин проекций этих векторов равно 2L/ $\pi$ .
Функция f на отрезке [a, b] не может быть всюду меньше своего среднего значения c, так как иначе

c= $\displaystyle {\frac{1}{b-a}}$ $\displaystyle \int\limits_{a}^{b}$ f (x) dx < $\displaystyle {\frac{(b-a)c}{b-a}}$ =c.

Поэтому найдется такая прямая l, что сумма длин проекций исходных векторов на нее не меньше 2L/ $\pi$ .
Зададим на прямой l направление. Тогда либо сумма длин положительных проекций на это направление, либо сумма длин отрицательных проекций не меньше L/ $\pi$ . Поэтому либо длина суммы векторов, дающих положительные проекции, либо длина суммы векторов, дающих отрицательные проекции, не меньше L/ $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	6
Название	Метод усреднения
Тема	Метод усреднения
задача
Номер	13.041