Условие
Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей
выпуклого многоугольника меньше
d, то его периметр меньше
d.
Решение
Обозначим проекцию многоугольника на прямую
l через
AB.
Ясно, что точки
A и
B являются проекциями некоторых вершин
A1
и
B1 многоугольника. Поэтому
A1B1
AB, т. е. длина проекции
многоугольника не больше
A1B1, a
A1B1 <
d по условию. Так как
сумма длин проекций сторон многоугольника на прямую
l равна
2
AB, она не превосходит 2
d.
Среднее значение суммы длин проекций сторон равно 2
P/
![$ \pi$](show_document.php?id=600224)
,
где
P — периметр (см. задачу
13.39). Среднее значение не
превосходит максимального, следовательно, 2
P/
![$ \pi$](show_document.php?id=600224)
< 2
d, т. е.
P <
d.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
13 |
Название |
Векторы |
Тема |
Векторы |
параграф |
Номер |
6 |
Название |
Метод усреднения |
Тема |
Метод усреднения |
задача |
Номер |
13.042 |