Информация о задаче

Задача 57727

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

Решение

Согласно задаче 13.39 неравенство достаточно доказать для проекций векторов на любую прямую. Пусть проекции векторов $\overrightarrow{OA_1}$ ,..., $\overrightarrow{OA_n}$ на прямую l равны (с учетом знака) a₁,..., a_n. Разобьем числа a₁,..., a_n на две группы: x₁ $\ge$ x₂ $\ge$ ... $\ge$ x_k $\ge$ 0 и y₁' $\le$ y₂' $\le$ ... $\le$ y_{n - k}' $\le$ 0. Пусть y_i = - y_i'. Тогда x₁ +...+ x_k = y₁ +...+ y_{n - k} = a, а значит, x₁ $\ge$ a/k и y₁ $\ge$ a/(n - k). Периметру в проекции соответствует число 2(x₁ + y₁). Сумме длин векторов $\overrightarrow{OA_i}$ в проекции соответствует число x₁ +...+ x_k + y₁ +...+ y_{n - k} = 2a. А так как

$\displaystyle {\frac{2(x_1+y_1)}{x_1+\ldots+y_{n-k}}}$ $\displaystyle \ge$ $\displaystyle {\frac{2((a/k)+(a/(n-k)))}{2a}}$ = $\displaystyle {\frac{n}{k(n-k)}}$ ,

то остается заметить, что величина k(n - k) максимальна при k = n/2 для четного n и при k = (n±1)/2 для нечетного n.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	6
Название	Метод усреднения
Тема	Метод усреднения
задача
Номер	13.044