Информация о задаче

Задача 57728

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $\pi$ .

Решение

Длина кривой — предел периметров вписанных в нее многоугольников. Рассмотрим вписанный многоугольник с периметром P и длиной проекции на прямую l, равной d_l. Пусть 1 - $\epsilon$ < d_l < 1 для всех прямых l. Многоугольник можно подобрать так, чтобы $\epsilon$ было сколь угодно мало. Так как многоугольник выпуклый, то сумма длин проекций сторон многоугольника на прямую l равна 2d_l.
Среднее значение величины 2d_l равно 2P/ $\pi$ (см. задачу 13.39). поэтому 2 - 2 $\epsilon$ < 2P/ $\pi$ < 2, т. е. $\pi$ - $\pi$ $\epsilon$ < P < $\pi$ . Устремляя $\epsilon$ к нулю. получаем, что длина кривой равна $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	6
Название	Метод усреднения
Тема	Метод усреднения
задача
Номер	13.045