Условие
Пусть
ABCD — выпуклый четырехугольник,
K,
L,
M и
N —
середины сторон
AB,
BC,
CD и
DA. Докажите, что точка пересечения
отрезков
KM и
LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение
Поместим в вершины четырехугольника
ABCD единичные
массы. Пусть
O — центр масс этой системы точек. Достаточно
доказать, что точка
O является серединой отрезков
KM и
LN
и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. Ясно, что
K — центр масс точек
A и
B,
M — центр масс точек
C и
D.
Поэтому точка
O является центром масс точек
K и
M с массами 2,
т. е.
O — середина отрезка
KM. Аналогично
O — середина
отрезка
LN. Рассматривая центры масс пар точек (
A,
C) и (
B,
D)
(т. е. середины диагоналей), получаем, что точка
O является
серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Источники и прецеденты использования
