Условие
Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N —
середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения
отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение
Поместим в вершины четырехугольника ABCD единичные
массы. Пусть O — центр масс этой системы точек. Достаточно
доказать, что точка O является серединой отрезков KM и LN
и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. Ясно, что K — центр масс точек A и B, M — центр масс точек C и D.
Поэтому точка O является центром масс точек K и M с массами 2,
т. е. O — середина отрезка KM. Аналогично O — середина
отрезка LN. Рассматривая центры масс пар точек (A, C) и (B, D)
(т. е. середины диагоналей), получаем, что точка O является
серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Источники и прецеденты использования
