Условие
Пусть
A1,
B1,...,
F1 — середины сторон
AB,
BC,...,
FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки
пересечения медиан треугольников
A1C1E1 и
B1D1F1 совпадают.
Решение
Поместим в вершины шестиугольника единичные массы;
пусть
O — центр масс полученной системы точек. Так как
точки
A1,
C1 и
E1 являются центрами масс пар точек (
A,
B),
(
C,
D) и (
E,
F), то точка
O является центром масс системы
точек
A1,
C1 и
E1 с массами 2, т. е.
O — точка
пересечения медиан треугольника
A1C1E1 (см. решение задачи
14.4).
Аналогично доказывается, что
O — точка пересечения медиан
треугольника
B1D1F1.
Источники и прецеденты использования
