Задача 57752

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

Пусть A₁, B₁,..., F₁ — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A₁C₁E₁ и B₁D₁F₁ совпадают.

Решение

Поместим в вершины шестиугольника единичные массы; пусть O — центр масс полученной системы точек. Так как точки A₁, C₁ и E₁ являются центрами масс пар точек (A, B), (C, D) и (E, F), то точка O является центром масс системы точек A₁, C₁ и E₁ с массами 2, т. е. O — точка пересечения медиан треугольника A₁C₁E₁ (см. решение задачи 14.4). Аналогично доказывается, что O — точка пересечения медиан треугольника B₁D₁F₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.006