Условие
Докажите теорему Чевы (задача 4.48, б)) с помощью группировки масс.
Решение
Пусть прямые AA1 и CC1 пересекаются в точке O;
AC1 : C1B = p и
BA1 : A1C = q. Нужно доказать, что
прямая BB1 проходит через точку O тогда и только тогда,
когда
CB1 : B1A = 1 : pq.
Поместим в точки A, B и C массы 1, p и pq соответственно.
Тогда точка C1 является центром масс точек A и B, а точка A1 — центром масс точек B и C. Поэтому центр масс точек A, B
и C с данными массами является точкой O пересечения прямых CC1
и AA1. С другой стороны, точка O лежит на отрезке, соединяющем
точку B с центром масс точек A и C. Если B1 — центр масс
точек A и C с массами 1 и pq, то
AB1 : B1C = pq : 1.
Остается заметить, что на отрезке AC существует единственная точка,
делящая его в данном отношении AB1 : B1C.
Источники и прецеденты использования
