Условие
В середины сторон треугольника
ABC помещены точки, массы которых равны длинам
сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре
вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника
ABC.
Замечание.
Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче
14.12.1 совпадает с
центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины.
Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку,
расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно
также, что масса стержня пропорциональна его длине.
Решение
Пусть
A1,
B1 и
C1 — середины сторон
BC,
CA и
AB. Центр масс точек
B1 и
C1 находится в точке
K, для
которой
B1K :
KC1 =
c :
b =
B1A1 :
A1C1. Поэтому
A1K —
биссектриса угла
B1A1C1.
Источники и прецеденты использования
