Задача 57763

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁; прямые B₁C₁, BB₁ и CC₁ пересекают прямую AA₁ в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A₁M/MA = (A₁P/PA) + (A₁Q/QA);
б) если P = Q, то MC₁ : MB₁ = (BC₁/AB) : (CB₁/AC).

Решение

а) Поместим в точки B, C и A такие массы , и b + c, что CA₁ : BA₁ = : , BC₁ : AC₁ = b : и  AB₁ : CB₁ = : c. Тогда M — центр масс этой системы, а значит, A₁M/AM = (b + c)/( + ). Точка P является центром масс точек A, B и C с массами c, и , поэтому A₁P/PA = c/( + ). Аналогично A₁Q/AQ = b/( + ).
б) Как и в задаче а), получаем MC₁/MB₁ = (c + )/(b + ), BC₁/AB = b/(b+) и  AC/CB₁ = (c + )/c. Кроме того, b = c, так как прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке (см. задачу 14.7).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.015