Информация о задаче

Задача 57770

Тема:

[

Момент инерции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁^.PA₂ + PB₁^.PB₂ + PC₁^.PC₂ = R² - OP², где O — центр описанной окружности.

Решение

Пусть P — центр масс точек A, B и C с массами $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ ; можно считать, что $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 1. Если K — точка пересечения прямых CP и AB, то

$\displaystyle {\frac{BC}{PA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CK}{PK}}$ = $\displaystyle {\frac{CP+PK}{PK}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{CP}{PK}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{\alpha +\beta }{\gamma }}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\gamma }}$ .

Аналогичные рассуждения показывают, что рассматриваемая величина равна $\beta$ $\gamma$ a² + $\gamma$ $\alpha$ b² + $\alpha$ $\beta$ c² = I_P (см. задачу 14.18, б)). А так как I_O = $\alpha$ R² + $\beta$ R² + $\gamma$ R² = R², то I_P = I_O - OP² = R² - OP².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	3
Название	Момент инерции
Тема	Момент инерции
задача
Номер	14.022