Информация о задаче

Задача 57773

Тема:

[

Момент инерции

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки A₁,..., A_n лежат на одной окружности, а M — их центр масс. Прямые MA₁,..., MA_n пересекают эту окружность в точках B₁,..., B_n (отличных от A₁,..., A_n). Докажите, что MA₁ +...+ MA_n $\le$ MB₁ +...+ MB_n.

Решение

Пусть O — центр данной окружности. Если хорда AB проходит через точку M, то AM^.BM = R² - d², где d = MO. Обозначим через I_X момент инерции системы точек A₁,..., A_n относительно точки X. Тогда I_O = I_M + nd² (см. задачу 14.17). С другой стороны, так как OA_i = R, то I_O = nR². Поэтому A_iM^.B_iM = R² - d² = ${\frac{1}{n}}$ (A₁M² +...+ A_nM²). Таким образом, если ввести обозначение a_i = A_iM, то требуемое неравенство перепишется в виде a₁ +...+ a_n $\le$ ${\frac{1}{n}}$ (a₁² +...+ a_n²) $\Bigl($ ${\frac{1}{a_1}}$ +...+ ${\frac{1}{a_n}}$ $\Bigr)$ . Для доказательства этого неравенства следует воспользоваться неравенством x + y $\le$ (x²/y) + (y²/x) (последнее неравенство получается из неравенства xy $\le$ x² - xy + y² умножением обеих частей на ${\frac{x+y}{xy}}$ ).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	3
Название	Момент инерции
Тема	Момент инерции
задача
Номер	14.025