Информация о задаче

Задача 57788

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Две прямые заданы в барицентрических координатах уравнениями a₁ $\alpha$ + b₁ $\beta$ + c₁ $\gamma$ = 0 и a₂ $\alpha$ + b₂ $\beta$ + c₂ $\gamma$ = 0.
а) Докажите, что точка пересечения этих прямых имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right.$ $\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right)$ .

б) Докажите, что эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ = 0.

Решение

а) Легко проверить, что указанная точка лежит на обеих прямых.
б) Несовпадающие прямые параллельны тогда и только тогда, когда точка их пересечения бесконечно удаленная. Точка является бесконечно удаленной тогда и только тогда, когда сумма ее барицентрических координат равна 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.040B