Информация о задаче

Задача 57789

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На прямых AB, BC, CA даны точки C₁ и C₂, A₁ и A₂, B₁ и B₂. Точки C₁ и C₂ определяют числа $\gamma_{1}^{}$ и $\gamma_{2}^{}$ , для которых (1 + $\gamma_{1}^{}$ ) $\overrightarrow{AC_1}$ = $\overrightarrow{AB}$ и (1 + $\gamma_{2}^{}$ ) $\overrightarrow{C_2B}$ = $\overrightarrow{AB}$ ; числа $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₂B₁, B₂C₁ и C₂A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.

Замечание. При $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{2}^{}$ = 0 точки A₂, B₂, C₂ совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{1}^{}$ $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{1}^{}$ $\gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. (Действительно, совпадение точек A₁ и A₂ эквивалентно тому, что ${\frac{1}{\alpha_1}}$ + ${\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

Решение

Точки A₂ и B₁ имеют барицентрические координаты (0 : 1 : $\alpha_{2}^{}$ ) и (1 : 0 : $\beta_{1}^{}$ ), поэтому в барицентрических координатах ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) прямая A₂B₁ задается уравнением $\alpha$ $\beta_{1}^{}$ + $\beta$ $\alpha_{2}^{}$ = $\gamma$ . Прямые B₂C₁ и C₂A₁ задаются уравнениями $\beta$ $\gamma_{1}^{}$ + $\gamma$ $\beta_{2}^{}$ = $\alpha$ и $\gamma$ $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha$ $\gamma_{2}^{}$ = $\beta$ . Эти прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \begin{vmatrix} \phantom-\beta_1&\phantom-\alpha_2&-1\\ \vspace... ...a_2\\ \vspace{1\relax } \phantom-\gamma_2&-1&\phantom-\alpha_1 \end{vmatrix}$

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.038.1