Условие
а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задается уравнением
вида
(
px +
qy +
rz)(
x sin

+
y sin

+
z sin

) =
yz sin

+
xz sin

+
xy sin

.
б) Докажите, что радикальная ось двух окружностей, заданных уравнениями такого
вида, задается уравнением
p1x + q1y + r1z = p2x + q2y + r2z.
Решение
Уравнение
yz sin
+ xz sin
+ xy sin
= 0 задает
описанную окружность треугольника. В декартовых координатах
уравнение любой окружности можно получить, вычтя из уравнения
фиксированной окружности некоторую линейную функцию. В
трилинейных координатах для сохранения однородности к линейную
функциюк px + qy + rz нужно домножить на к постоянную
величинук
x sin
+ y sin
+ z sin
(эта величина
будет постоянной, если x, y, z — абсолютные трилинейные координаты).
б) Согласно задаче 3.52 в декартовых координатах степень точки
(x0, y0) относительно окружности
(x - a)2 + (y - b)2 = R2 равна
(x0 - a)2 + (y0 - b)2 - R2. Поэтому радикальная ось окружностей,
заданных (в декартовых координатах) уравнениями
x2 + y2 + P1x + Q1y + R1 = 0 и
x2 + y2 + P2x + Q2y + R2 = 0, задается
уравнением
P1x + Q1y + R1 = P2x + Q2y + R2. То же самое верно и
для линейных функций, добавленных к фиксированному уравнению
окружности.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
14 |
Название |
Центр масс |
Тема |
Центр масс |
параграф |
Номер |
6 |
Название |
Трилинейные координаты |
Тема |
Трилинейные координаты |
задача |
Номер |
14.044 |