Информация о задаче

Задача 57802

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задается уравнением вида

(px + qy + rz)(x sin $\displaystyle \alpha$ + y sin $\displaystyle \beta$ + z sin $\displaystyle \gamma$ ) = yz sin $\displaystyle \alpha$ + xz sin $\displaystyle \beta$ + xy sin $\displaystyle \gamma$ .

б) Докажите, что радикальная ось двух окружностей, заданных уравнениями такого вида, задается уравнением

p₁x + q₁y + r₁z = p₂x + q₂y + r₂z.

Решение

Уравнение yz sin $\alpha$ + xz sin $\beta$ + xy sin $\gamma$ = 0 задает описанную окружность треугольника. В декартовых координатах уравнение любой окружности можно получить, вычтя из уравнения фиксированной окружности некоторую линейную функцию. В трилинейных координатах для сохранения однородности к линейную функциюк px + qy + rz нужно домножить на к постоянную величинук x sin $\alpha$ + y sin $\beta$ + z sin $\gamma$ (эта величина будет постоянной, если x, y, z — абсолютные трилинейные координаты).
б) Согласно задаче 3.52 в декартовых координатах степень точки (x₀, y₀) относительно окружности (x - a)² + (y - b)² = R² равна (x₀ - a)² + (y₀ - b)² - R². Поэтому радикальная ось окружностей, заданных (в декартовых координатах) уравнениями x² + y² + P₁x + Q₁y + R₁ = 0 и x² + y² + P₂x + Q₂y + R₂ = 0, задается уравнением P₁x + Q₁y + R₁ = P₂x + Q₂y + R₂. То же самое верно и для линейных функций, добавленных к фиксированному уравнению окружности.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.044