Информация о задаче

Задача 57803

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что касательная к вписанной окружности в точке (x₀ : y₀ : z₀) задается уравнением

$\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{x_0}}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{y}{\sqrt{y_0}}}$ cos $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{z}{\sqrt{z_0}}}$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ = 0.

Решение

Пусть точки (x₀ : y₀ : z₀) и (x₁ : y₁ : z₁) лежат на вписанной окружности. Тогда прямая, проходящая через эти точки, задается уравнением

x( $\displaystyle \sqrt{y_0z_1}$ + $\displaystyle \sqrt{y_1z_0}$ )cos $\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ + y( $\displaystyle \sqrt{x_0z_1}$ + $\displaystyle \sqrt{x_1z_0}$ )cos $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ + z( $\displaystyle \sqrt{x_0y_1}$ + $\displaystyle \sqrt{x_1y_0}$ )cos $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ = 0.

Проверим, например, что точка (x₀ : y₀ : z₀) лежит на этой прямой. Для этого воспользуемся тождеством

$\begin{multline*} x(\sqrt{y_0z_1}+\sqrt{y_1z_0})\cos\frac{\alpha}{2}+\ldots= \\... ...ots)- \sqrt{x_0y_0z_1}(\sqrt{x_1}\cos\frac{\alpha}{2}+\ldots). \end{multline*}$

Точки (x₀ : y₀ : z₀) и (x₁ : y₁ : z₁) лежат на вписанной окружности, поэтому согласно задаче 14.42, б) $\sqrt{x_0}$ cos ${\frac{\alpha }{2}}$ +...= 0 и $\sqrt{x_1}$ cos ${\frac{\alpha }{2}}$ +...= 0.
Чтобы получить уравнение касательной в точке (x₀ : y₀ : z₀), нужно положить x₁ = x₀, y₁ = y₀, z₁ = z₀. После деления на 2 $\sqrt{x_0y_0z_0}$ уравнение примет требуемый вид.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.045