Информация о задаче

Задача 57800

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите уравнения в трилинейных координатах для: а) описанной окружности; б) вписанной окружности; в) вневписанной окружности.

Решение

а) Описанная окружность задается уравнением ayz + bxz + cxy = 0, т. е. ${\frac{a}{x}}$ + ${\frac{b}{y}}$ + ${\frac{c}{z}}$ = 0 (здесь a, b, c — длины сторон треугольника). Одно доказательство этого утверждения содержится в решении задачи 5.10; другое -- в решении задачи 14.37. Еще одно доказательство можно получить, воспользовавшись тем, что описанная окружность изогонально сопряжена бесконечно удаленной прямой, которая задается уравнением ax + by + cz = 0.
б) Вписанная окружность задается уравнением cos ${\frac{\alpha }{2}}$ $\sqrt{x}$ + cos ${\frac{\beta}{2}}$ $\sqrt{y}$ + cos ${\frac{\gamma}{2}}$ $\sqrt{z}$ = 0, т. е.

$\begin{multline*} {\cos^4\frac{\alpha}{2}x^2+\cos^4\frac{\beta}{2}y^2+ \cos^4\... ...}{2}xy+ \cos^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\gamma}{2}xz\right). \end{multline*}$

Чтобы получить это уравнение, можно воспользоваться тем, что вписанная окружность треугольника ABC является описанной окружностью треугольника A₁B₁C₁, где A₁, B₁ и C₁ — точки касания. Пусть (x₁ : y₁ : z₁) — трилинейные координаты точки описанной окружности треугольника A₁B₁C₁. Тогда

sin $\displaystyle {\frac{\beta+\gamma}{2}}$ y₁z₁ + sin $\displaystyle {\frac{\alpha +\gamma }{2}}$ x₁z₁ + sin $\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{2}}$ x₁y₁ = 0,

поскольку углы треугольника A₁B₁C₁ равны ${\frac{\beta+\gamma}{2}}$ , ${\frac{\alpha+\gamma}{2}}$ , ${\frac{\alpha+\beta}{2}}$ . Согласно задаче 2.58, б) xy = z₁². Кроме того, sin ${\frac{\beta+\gamma}{2}}$ = cos ${\frac{\alpha }{2}}$ .
в) Вневписанная окружность, касающаяся стороны BC, задается уравнением cos ${\frac{\alpha }{2}}$ $\sqrt{-x}$ + cos ${\frac{\beta}{2}}$ $\sqrt{y}$ + cos ${\frac{\gamma}{2}}$ $\sqrt{z}$ = 0, т. е.

$\begin{multline*} {\cos^4\frac{\alpha}{2}x^2+\cos^4\frac{\beta}{2}y^2+ \cos^4\... ...}{2}xy- \cos^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\gamma}{2}xz\right). \end{multline*}$

Это доказывается точно так же, как и для вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.042