ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57800
Тема:    [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите уравнения в трилинейных координатах для: а) описанной окружности; б) вписанной окружности; в) вневписанной окружности.

Решение

а) Описанная окружность задается уравнением ayz + bxz + cxy = 0, т. е. $ {\frac{a}{x}}$ + $ {\frac{b}{y}}$ + $ {\frac{c}{z}}$ = 0 (здесь a, b, c — длины сторон треугольника). Одно доказательство этого утверждения содержится в решении задачи 5.10; другое -- в решении задачи 14.37. Еще одно доказательство можно получить, воспользовавшись тем, что описанная окружность изогонально сопряжена бесконечно удаленной прямой, которая задается уравнением ax + by + cz = 0.
б) Вписанная окружность задается уравнением cos$ {\frac{\alpha }{2}}$$ \sqrt{x}$ + cos$ {\frac{\beta}{2}}$$ \sqrt{y}$ + cos$ {\frac{\gamma}{2}}$$ \sqrt{z}$ = 0, т. е.

\begin{multline*}
{\cos^4\frac{\alpha}{2}x^2+\cos^4\frac{\beta}{2}y^2+
\cos^4\...
...}{2}xy+
\cos^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\gamma}{2}xz\right).
\end{multline*}


Чтобы получить это уравнение, можно воспользоваться тем, что вписанная окружность треугольника ABC является описанной окружностью треугольника A1B1C1, где A1, B1 и C1 — точки касания. Пусть (x1 : y1 : z1) — трилинейные координаты точки описанной окружности треугольника A1B1C1. Тогда

sin$\displaystyle {\frac{\beta+\gamma}{2}}$y1z1 + sin$\displaystyle {\frac{\alpha +\gamma }{2}}$x1z1 + sin$\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{2}}$x1y1 = 0,

поскольку углы треугольника A1B1C1 равны $ {\frac{\beta+\gamma}{2}}$, $ {\frac{\alpha+\gamma}{2}}$, $ {\frac{\alpha+\beta}{2}}$. Согласно задаче 2.58, б) xy = z12. Кроме того, sin$ {\frac{\beta+\gamma}{2}}$ = cos$ {\frac{\alpha }{2}}$.
в) Вневписанная окружность, касающаяся стороны BC, задается уравнением cos$ {\frac{\alpha }{2}}$$ \sqrt{-x}$ + cos$ {\frac{\beta}{2}}$$ \sqrt{y}$ + cos$ {\frac{\gamma}{2}}$$ \sqrt{z}$ = 0, т. е.

\begin{multline*}
{\cos^4\frac{\alpha}{2}x^2+\cos^4\frac{\beta}{2}y^2+
\cos^4\...
...}{2}xy-
\cos^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\gamma}{2}xz\right).
\end{multline*}

Это доказывается точно так же, как и для вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 14
Название Центр масс
Тема Центр масс
параграф
Номер 6
Название Трилинейные координаты
Тема Трилинейные координаты
задача
Номер 14.042

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .