Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
а) Докажите, что KM(BC + AD)/2, причем равенство достигается, только если BC| AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника ABCD найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN.

   Решение

Тема:    [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
а) Докажите, что KM(BC + AD)/2, причем равенство достигается, только если BC| AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника ABCD найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN.

Решение

а) Достроим треугольник CBD до параллелограмма CBDE. Тогда 2KM = AEAD + DE = AD + BC, причем равенство достигается, только если AD| BC.
б) Пусть a = AB, b = BC, c = CD и d = DA. Если | a - c| = | b - d| 0, то согласно задаче а) максимум достигается в вырожденном случае, когда все точки A, B, C и D окажутся на одной прямой. Предположим теперь, например, что | a - c| < | b - d|. Достроим треугольники ABL и LCD до параллелограммов ABLP и LCDQ. Тогда PQ| b - d|, а значит, LN² = (2LP² + 2LQ² - PQ²)/4(2(a² + c²) - (b - d )²)/4. Кроме того, согласно задаче a) KM(b + d )/2. Оба равенства достигаются, когда ABCD — трапеция с основаниями AD и BC.
Построим окружность S, касающуюся стороны AB и лучей BC и AD, и перенесем треугольник CND параллельно (в направлении оснований BC и AD) так, чтобы точка N' совпала с точкой M, т. е. сторона C'D' касалась окружности S (рис.).

Источники и прецеденты использования