Информация о задаче

Задача 57818

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Формула включения-исключения	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Автор: Розенблюм Г.В.

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.

Решение

а) Фигуру, лежащую внутри квадрата ABCD со стороной 1, обозначим через F, а ее площадь — через S. Рассмотрим два вектора $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AA_2}$ , где точка A₁ лежит на стороне AD и AA₁ = 0, 001, а точка A₂ лежит внутри угла BAD, $\angle$ A₂AA₁ = 60^o и AA₂ = 0, 001 (рис.).
Пусть F₁ и F₂ — образы F при параллельных переносах на векторы $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AA_2}$ . Фигуры F, F₁ и F₂ не имеют общих точек и лежат внутри квадрата со стороной 1, 001. Поэтому 3S < 1, 001², т. е. S < 0, 335 < 0, 34.
б) Рассмотрим вектор $\overrightarrow{AA_3}$ = $\overrightarrow{AA_1}$ + $\overrightarrow{AA_2}$ . Повернем вектор $\overrightarrow{AA_3}$ вокруг точки A (против часовой стрелки на острый угол) так, чтобы точка A₃ перешла в точку A₄, для которой A₃A₄ = 0, 001. Рассмотрим также векторы $\overrightarrow{AA_5}$ и $\overrightarrow{AA_6}$ длиной 0, 001, образующие с вектором $\overrightarrow{AA_4}$ углы 30^o и лежащие по разные стороны от него (рис.).
Обозначим образ фигуры F при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{AA_i}$ через F_i. Для определенности будем считать, что S(F₄ $\cap$ F) $\le$ S(F₃ $\cap$ F). Тогда S(F₄ $\cap$ F) $\le$ S/2, поэтому S(F₄ $\cup$ F) $\ge$ 3S/2. Фигуры F₅ и F₆ не пересекаются ни друг с другом, ни с фигурами F и F₄, поэтому S(F $\cup$ F₄ $\cup$ F₅ $\cup$ F₆) $\ge$ 7S/2. (Если бы оказалось, что S(F₃ $\cap$ F) $\le$ S(F₄ $\cap$ F), то вместо фигур F₅ и F₆ нужно было бы взять F₁ и F₂.) Так как длины векторов $\overrightarrow{AA_i}$ не превосходят 0, 001 $\sqrt{3}$ , все рассматриваемые фигуры лежат внутри квадрата со стороной 1 + 0, 002 $\sqrt{3}$ . Поэтому 7S/2 $\le$ (1 + 0, 002 $\sqrt{3}$ )² и S < 0, 287.
римечание S(A $\cup$ B) — площадь объединения фигур A и B, S(A $\cap$ B) — площадь их пересечения.

Замечания

В "Задачнике Кванта" данная задача была в следующей формулировке:

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми точками которой не равно 0,001. Докажите, что площадь этой фигуры не превышает 0,34.

Можете считать, что граница фигуры, о которой говорится в условии, состоит из отрезков прямых и дуг окружностей. Постарайтесь получить более точную оценку. Докажите аналогичную теорему в пространстве.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	15
Название	Параллельный перенос
Тема	Параллельный перенос
параграф
Номер	1
Название	Перенос помогает решить задачу
Тема	Перенос помогает решить задачу
задача
Номер	15.006


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	11
Задача
Номер	М111