ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 57818  (#М111)

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Формула включения-исключения ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 7
Классы: 9,10,11

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73647  (#М112)

Темы:   [ Линейная и полилинейная алгебра ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Линейные зависимости векторов ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В таблице размером m×n записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем  (n + m – 1)  чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73648  (#М113)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Правило произведения ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Ивлев Б.М.

Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

Прислать комментарий     Решение

Задача 73649  (#М114)

Темы:   [ Полуинварианты ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел  a – d  и  b – c  отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73650  (#М115)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .