Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Четырехугольники (построения) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

Решение

Предположим, что искомый четырехугольник ABCD построен. Пусть D₁ и D₂ — образы точки D при переносах на векторы и  соответственно. Опишем вокруг треугольников DCD₁ и DAD₂ окружности S₁ и S₂. Обозначим точки пересечения прямых BC и BA с окружностями S₁ и S₂ через M и N (рис.). Ясно, что DCD₁ = DAD₂ = D, DCM = 180^o - C и  DAN = 180^o - A.
Из этого вытекает следующее построение. На произвольной прямой l берем точку D и строим на l точки D₁ и D₂ так, что DD₁ = DD₂ = AC. Фиксируем одну из полуплоскостей П, заданных прямой l, и будем считать, что точка B лежит в этой полуплоскости. Построим окружность S₁, из точек которой, лежащих в П, отрезок DD₁ виден под углом D. Аналогично строим окружность S₂. Построим точку M на S₁ так, чтобы из всех точек части окружности, лежащей в П, отрезок DM был виден под углом 180^o - C. Аналогично строим точку N. Отрезок MN виден из точки B под углом B, т. е. B является точкой пересечения окружности с центром D радиуса DB и дуги окружности, из которой отрезок MN виден под углом B (и она лежит в полуплоскости П). Точки C и A являются точками пересечения прямых BM и BN с окружностями S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования