Условие
Окружность пересекает стороны
BC,
CA,
AB треугольника
ABC
в точках
A1 и
A2,
B1 и
B2,
C1 и
C2 соответственно.
Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные
через точки
A1,
B1 и
C1, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через
A2,
B2 и
C2,
тоже пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть перпендикуляры к сторонам, проведенные через
точки
A1,
B1 и
C1 пересекаются в точке
M. Обозначим центр
окружности через
O. Перпендикуляр к стороне
BC, проведенный
через точку
A1, симметричен относительно точки
O перпендикуляру
к стороне
BC, проведенному через точку
A2. Поэтому перпендикуляры
к сторонам, проведенные через точки
A2,
B2 и
C2, пересекаются
в точке, симметричной
M относительно точки
O.
Источники и прецеденты использования
