Условие
В треугольнике
ABC проведены медианы
AF и
CE.
Докажите, что если
BAF =
BCE = 30
o, то треугольник
ABC правильный.
Решение
Так как
EAF =
ECF = 30
o, точки
A,
E,
F и
C
лежат на одной окружности
S, причем если
O — ее центр,
то
EOF = 60
o. Точка
B симметрична
A относительно
точки
E, поэтому она лежит на окружности
S1, симметричной
окружности
S относительно точки
E. Аналогично точка
B лежит на
окружности
S2, симметричной окружности
S относительно точки
F.
Так как треугольник
EOF правильный, центры окружностей
S,
S1
и
S2 образуют правильный треугольник со стороной 2
R, где
R —
радиус этих окружностей. Поэтому окружности
S1 и
S2 имеют
единственную общую точку
B, причем треугольник
BEF правильный.
Следовательно, треугольник
ABC тоже правильный.
Источники и прецеденты использования
