Задача 57845
|
|
 |
Условие
Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.Решение
Рассмотрим многоугольник, симметричный исходному относительно точки O. Так как стороны многоугольника попарно непараллельны, контуры этих многоугольников не могут иметь общих отрезков, а могут иметь только общие точки. А так как многоугольники выпуклые, на каждой стороне лежит не более двух точек пересечения; поэтому имеется не более 2n точек пересечения контуров (точнее, n пар симметричных относительно O точек).Пусть l1 и l2 — прямые, проходящие через точку O и делящие площадь исходного многоугольника пополам. Докажем, что внутри каждой из четырех частей, на которые эти прямые делят плоскость, есть точка пересечения контуров. Предположим, что в одной из частей между прямыми l1 и l2 нет таких точек. Обозначим точки пересечения прямых l1 и l2 со сторонами многоугольника так, как показано на рис. Пусть точки A', B', C' и D' симметричны относительно точки O точкам A, B, C и D соответственно. Для определенности будем считать, что точка A лежит ближе к точке O, чем точка C'. Так как отрезки AB и C'D' не пересекаются, точка B лежит ближе к точке O, чем точка D'. Поэтому SABO < SC'D'O = SCDO, где ABO — выпуклая фигура, ограниченная отрезками AO и BO и частью границы n-угольника, заключенной между точками A и B.
С другой стороны, SABO = SCDO, так как прямые l1 и l2 делят площадь многоугольника пополам. Получено противоречие. Поэтому между каждой парой прямых, делящих площадь пополам, лежит пара симметричных точек пересечения контуров, т. е. таких прямых не более n.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 16 |
| Название | Центральная симметрия |
| Тема | Центральная симметрия |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Симметрия помогает решить задачу |
| Тема | Центральная симметрия помогает решить задачу |
| задача | |
| Номер | 16.008 |
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1973 |
| выпуск | |
| Номер | 8 |
| Задача | |
| Номер | М217 |
