Условие
Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести
более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.
Решение
Рассмотрим многоугольник, симметричный исходному относительно точки O.
Так как стороны многоугольника попарно непараллельны, контуры этих
многоугольников не могут иметь общих отрезков, а могут иметь только общие
точки. А так как многоугольники выпуклые, на каждой стороне лежит не
более двух точек пересечения; поэтому имеется не более 2n точек
пересечения контуров (точнее, n пар симметричных относительно O точек).
Пусть l1 и l2 — прямые, проходящие через точку O и делящие
площадь исходного многоугольника пополам. Докажем, что внутри
каждой из четырех частей, на которые эти прямые делят плоскость,
есть точка пересечения контуров. Предположим, что в одной из
частей между прямыми l1 и l2 нет таких точек. Обозначим точки
пересечения прямых l1 и l2 со сторонами многоугольника так, как
показано на рис. Пусть точки A', B', C' и D' симметричны
относительно точки O точкам A, B, C и D соответственно.
Для определенности будем считать, что точка A лежит ближе
к точке O, чем точка C'. Так как отрезки AB и C'D' не
пересекаются, точка B лежит ближе к точке O, чем точка D'.
Поэтому
SABO < SC'D'O = SCDO, где ABO — выпуклая фигура,
ограниченная отрезками AO и BO и частью границы n-угольника,
заключенной между точками A и B.
С другой стороны,
SABO = SCDO, так как прямые l1 и l2 делят
площадь многоугольника пополам. Получено противоречие. Поэтому
между каждой парой прямых, делящих площадь пополам, лежит пара
симметричных точек пересечения контуров, т. е. таких прямых не
более n.
Источники и прецеденты использования
