Задача 57869

Тема:    [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Через точку M основания AB равнобедренного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его боковые стороны CA и CB (или их продолжения) в точках A₁ и B₁. Докажите, что A₁A : A₁M = B₁B : B₁M.

Решение

Пусть прямая, симметричная прямой A₁B₁ относительно прямой AB, пересекает стороны CA и CB (или их продолжения) в точках A₂ и B₂. Так как A₁AM = B₂BM и  A₁MA = B₂MB, то A₁AM B₂BM, т. е. A₁A : A₁M = B₂B : B₂M. Кроме того, так как MB — биссектриса треугольника B₁MB₂, то B₂B : B₂M = B₁B : B₁M.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	1
Название	Симметрия помогает решить задачу
Тема	Симметрия помогает решить задачу
задача
Номер	17.003