Задача 57876

Тема:    [ Симметрия и построения ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Дан острый угол MON и точки A и B внутри его. Найдите на стороне OM точку X так, чтобы треугольник XYZ, где Y и Z — точки пересечения прямых XA и XB с ON, был равнобедренным: XY = XZ.

Решение

Пусть проекция точки A на прямую ON лежит ближе к точке O, чем проекция точки B. Предположим, что равнобедренный треугольник XYZ построен.
Рассмотрим точку A', симметричную точке A относительно прямой OM. Опустим из точки X перпендикуляр XH на прямую ON (рис.). Так как A'XB = A'XO + OXA + YXH + HXZ = 2OXY + 2YXH = 2OXH = 180^o - 2MON, то угол A'XB известен. Точка X является точкой пересечения прямой OM и дуги, из которой отрезок A'B виден под углом 180^o - 2MON. При этом проекция точки X на прямую ON должна лежать между проекциями точек A и B.
Обратно, если A'XB = 180^o - MON и проекция точки X на прямую ON лежит между проекциями точек A и B, то треугольник XYZ равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	2
Название	Построения
Тема	Симметрия и построения
задача
Номер	17.010