Задача 57888

Тема:    [ Композиции симметрий ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

а) Прямые l₁ и l₂ параллельны. Докажите, что S_l1oS_l2 = T_2a, где  T_a — параллельный перенос, переводящий l₁ в l₂, причем a l₁.
б) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке O. Докажите, что S_l2oS_l1 = R²_O, где  R_O — поворот, переводящий l₁ в l₂.

Решение

Пусть X — произвольная точка, X₁ = S_l1(X) и  X₂ = S_l2(X₁).
а) Выберем на прямой l₁ произвольную точку O и рассмотрим систему координат с началом O и осью абсцисс, направленной по прямой l₁. Прямая l₂ задается в этой системе координат уравнением y = a. Пусть y, y₁ и y₂ — ординаты точек X, X₁ и X₂. Ясно, что y₁ = - y и  y₂ = (a - y₁) + a = y + 2a. Так как точки X, X₁ и X₂ имеют одинаковые абсциссы, то  X₂ = T_2a(X), где  T_a — перенос, переводящий l₁ в l₂, причем a l₁.
б) Рассмотрим систему координат с началом O и осью абсцисс, направленной по прямой l₁. Пусть угол поворота от прямой l₁ к l₂ в этой системе координат равен , углы поворотов от оси абсцисс до лучей OX, OX₁ и OX₂ равны , и  . Ясно, что = - и  = ( - ) + = + 2. Так как OX = OX₁ = OX₂, то X₂ = R_O²(X), где  R_O — поворот, переводящий l₁ в l₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	4
Название	Композиции симметрий
Тема	Композиции симметрий
задача
Номер	17.022