Условие
а) Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что
Sl1oSl2 = T2a, где
Ta — параллельный перенос,
переводящий l1 в l2, причем
a 
l1.
б) Прямые l1 и l2 пересекаются в точке O. Докажите,
что
Sl2oSl1 = R2
O, где
RO —
поворот, переводящий l1 в l2.
Решение
Пусть X — произвольная точка,
X1 = Sl1(X) и
X2 = Sl2(X1).
а) Выберем на прямой l1 произвольную точку O и рассмотрим
систему координат с началом O и осью абсцисс, направленной по
прямой l1. Прямая l2 задается в этой системе координат уравнением
y = a. Пусть y, y1 и y2 — ординаты точек X, X1 и X2.
Ясно, что y1 = - y и
y2 = (a - y1) + a = y + 2a. Так как точки X, X1
и X2 имеют одинаковые абсциссы, то
X2 = T2a(X),
где
Ta — перенос, переводящий l1 в l2,
причем
a l1.
б) Рассмотрим систему координат с началом O и осью абсцисс,
направленной по прямой l1. Пусть угол поворота от прямой l1
к l2 в этой системе координат равен 
, углы поворотов от оси
абсцисс до лучей OX, OX1 и OX2 равны 
,
и
.
Ясно, что
= - и
= ( - ) + = + 2. Так
как
OX = OX1 = OX2, то
X2 = RO2(X), где
RO — поворот,
переводящий l1 в l2.
Источники и прецеденты использования
