Информация о задаче

Задача 57893

Тема:

[

Композиции симметрий

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Две прямые пересекаются под углом $\gamma$ . Кузнечик прыгает с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда $\gamma$ / $\pi$ — рациональное число.

Решение

Для каждого вектора прыжка имеется ровно два положения кузнечика, для которых прыжок задается этим вектором. Поэтому последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда имеется лишь конечное число различных векторов прыжков.
Пусть a₁ — вектор прыжка кузнечика с прямой l₂ на прямую l₁; a₂,a₃,a₄,... — векторы последующих прыжков. Тогда a₂ = S_l₂(a₁), a₃ = S_l₁(a₂), a₄ = S_l₂(a₃),... Так как композиция S_l₁oS_l₂ является поворотом на угол 2 $\gamma$ (или на угол 2 $\pi$ - 2 $\gamma$ ), векторы a₃, a₅, a₇,... получаются из вектора a₁ поворотами на 2 $\gamma$ , 4 $\gamma$ , 6 $\gamma$ ,... (или на 2( $\pi$ - $\gamma$ ), 4( $\pi$ - $\gamma$ ), 6( $\pi$ - $\gamma$ ),...). Поэтому набор a₁, a₃, a₅,... содержит конечное число различных векторов тогда и только тогда, когда $\gamma$ / $\pi$ — рациональное число. Набор a₂, a₄, a₆,... рассматривается аналогично.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	4
Название	Композиции симметрий
Тема	Композиции симметрий
задача
Номер	17.026