Условие
а) Впишите в данную окружность n-угольник,
стороны которого параллельны заданным n прямым.
б) Через центр O окружности проведено n прямых.
Постройте описанный около окружности n-угольник, вершины
которого лежат на этих прямых.
Решение
а) Предположим, что многоугольник
A1A2...An построен.
Проведем через центр O окружности серединные перпендикуляры l1,
l2,..., ln к хордам A1A2,
A2A3,..., AnA1
соответственно. Прямые
l1,..., ln известны, так как они
проходят через точку O и перпендикулярны данным прямым. Кроме того,
A2 = Sl1(A1),
A3 = Sl2(A2),...,
A1 = Sln(An),
т. е. точка A1 является неподвижной точкой композиции симметрий
Slno...oSl1. При нечетном n на окружности
неподвижных точек ровно две; при четном n либо неподвижных точек
нет, либо все точки неподвижны.
б) Предположим, что искомый многоугольник
A1...An построен.
Рассмотрим многоугольник
B1...Bn, образованный точками касания
описанного многоугольника с окружностью. Стороны многоугольника
B1...Bn перпендикулярны данным прямым, т. е. имеют заданные
направления, поэтому его можно построить (см. задачу а)); остается
провести касательные к окружности в точках
B1,..., Bn.
Источники и прецеденты использования
