Условие
Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра
круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично
относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что:
а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь
данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.
Решение
Пусть O — центр данного круга, DR — круг радиуса R с центром O. Докажем, что множеством образов точек DR при симметриях
относительно прямых, проходящих через D1, является круг DR + 2.
В самом деле, образы точки O при указанных симметриях заполняют
круг D2, а круги радиуса R с центрами в D2 заполняют круг DR + 2.
Поэтому за n отражений из точек D1 можно получить любую
точку из D2n + 1 и только эти точки. Остается заметить, что точку A
можно к загнатьк внутрь DR за n отражений тогда и только тогда,
когда за n отражений можно перевести некоторую точку из DR в A.
Источники и прецеденты использования
