Задача 57897

Тема:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

Решение

Пусть O — центр данного круга, D_R — круг радиуса R с центром O. Докажем, что множеством образов точек D_R при симметриях относительно прямых, проходящих через D₁, является круг D_{R + 2}. В самом деле, образы точки O при указанных симметриях заполняют круг D₂, а круги радиуса R с центрами в D₂ заполняют круг D_{R + 2}. Поэтому за n отражений из точек D₁ можно получить любую точку из D_{2n + 1} и только эти точки. Остается заметить, что точку A можно к загнатьк внутрь D_R за n отражений тогда и только тогда, когда за n отражений можно перевести некоторую точку из D_R в A.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	5
Название	Свойства симметрий и осей симметрии
Тема	Свойства симметрий и осей симметрии
задача
Номер	17.030