Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, для которых MA² = MB² + MC².

   Решение

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, для которых MA² = MB² + MC².

Решение

При повороте на 60^o с центром A, переводящем B в C, точка M переходит в некоторую точку M', а точка C — в точку D. Равенство MA² = MB² + MC² эквивалентно равенству M'M² = M'C² + MC², т. е. тому, что MCM' = 90^o, а значит, MCB + MBC = MCB + M'CD = 120^o - 90^o = 30^o, т. е. BMC = 150^o. Искомое ГМТ — дуга окружности, лежащая внутри треугольника, из которой отрезок BC виден под углом 150^o.

Источники и прецеденты использования