Задача 57936

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC взяты точки M и N так, что MN| AC, E — середина отрезка AN, D — центр треугольника BMN. Найдите величины углов треугольника CDE.

Решение

Рассмотрим поворот на 60^o с центром C, переводящий точку B в A. При этом точки M, N и D переходят в M', N' и D'. Так как AMNN' — параллелограмм, середина E диагонали AN является его центром симметрии. Поэтому при симметрии относительно точки E треугольник BMN переходит в M'AN', а значит, точка D переходит в D', т. е. E — середина отрезка DD'. А так как треугольник CDD' правильный, то углы треугольника CDE равны 30^o, 60^o и  90^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.017