Задача 57937

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Пусть P и Q — середины отрезков A₁B₁ и A₁C₁. Докажите, что треугольник APQ правильный.

Решение

Рассмотрим поворот с центром A, переводящий точку C₁ в точку B. При этом повороте правильный треугольник A₁BC переходит в треугольник A₂FB₁, а отрезок A₁C₁ переходит в отрезок A₂B. Остается заметить, что BA₁A₂B₁ — параллелограмм, т. е. середина отрезка A₂B совпадает с серединой отрезка A₁B₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.018