Задача 57938
|
|
 |
Условие
На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним
образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C.
Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1;
K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы
треугольника KLM равны
30o,
60o и
90o.
Решение
Пусть
= 4a,
= 4b. Пусть, далее, R —
поворот, переводящий вектор
в
(а значит,
вектор
— в
). Тогда
= (a + b) - 2Rb и
= - 2Rb + 4b + 2Ra. Легко проверить,
что
b + R2b = Rb. Поэтому
2R(
) =
,
а из этого соотношения вытекает требуемое.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 18 |
| Название | Поворот |
| Тема | Поворот |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Поворот на 60 градусов |
| Тема | Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ |
| задача | |
| Номер | 18.019 |
