ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57938
Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C. Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы треугольника KLM равны  30o, 60o и  90o.

Решение

Пусть $ \overrightarrow{AB}$ = 4a, $ \overrightarrow{CA}$ = 4b. Пусть, далее, R — поворот, переводящий вектор $ \overrightarrow{AB}$ в  $ \overrightarrow{AC'}$ (а значит, вектор $ \overrightarrow{CA}$ — в  $ \overrightarrow{CB'}$). Тогда $ \overrightarrow{LM}$ = (a + b) - 2Rb и  $ \overrightarrow{LK}$ = - 2Rb + 4b + 2Ra. Легко проверить, что b + R2b = Rb. Поэтому 2R($ \overrightarrow{LM}$) = $ \overrightarrow{LK}$, а из этого соотношения вытекает требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 2
Название Поворот на 60 градусов
Тема Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер 18.019

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .