Задача 57938

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C. Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы треугольника KLM равны  30^o, 60^o и  90^o.

Решение

Пусть = 4a, = 4b. Пусть, далее, R — поворот, переводящий вектор в  (а значит, вектор  — в  ). Тогда = (a + b) - 2Rb и  = - 2Rb + 4b + 2Ra. Легко проверить, что b + R²b = Rb. Поэтому 2R() = , а из этого соотношения вытекает требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.019