Информация о задаче

Задача 57941

Тема:

[

Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 6
Классы: 9
Название задачи: Теорема Помпею.

Прислать комментарий

Условие

Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC (Помпею).

Решение

Пусть O — центр правильного треугольника ABC, x = $\overrightarrow{XO}$ и a = $\overrightarrow{OA}$ . Тогда $\overrightarrow{OB}$ = Ra и $\overrightarrow{OC}$ = R²a, где $\alpha$ = 120^o. Поэтому

$\begin{multline*} \overrightarrow{XA}+R^{\alpha}(\overrightarrow{XB})+ R^{2\al... ...ymbol{a}+R^{\alpha}\boldsymbol{a}+R^{2\alpha}\boldsymbol{a})=0. \end{multline*}$

Это означает, что векторы $\overrightarrow{XA}$ , R( $\overrightarrow{XB}$ ) и R²( $\overrightarrow{XC}$ ) являются векторами сторон некоторого треугольника. Вырожденность треугольника эквивалентна сонаправленности двух их этих векторов. Если, например, векторы $\overrightarrow{XA}$ и R( $\overrightarrow{XB}$ ), то $\angle$ (AX, XB) = $\angle$ (AC, CB), поэтому точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC. Вырожденность треугольника в том случае, когда точка X лежит на описанной окружности, доказана в задаче 18.13.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.021.1