Задача 57942

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник.

Решение

Пусть P, Q и R — середины сторон BC, DE и FA, O — центр описанной окружности. Предположим, что треугольник PQR правильный. Докажем, что тогда середины сторон BC, DE' и F'A шестиугольника ABCDE'F', в котором вершины E' и F' получены из точек E и F поворотом на некоторый угол относительно точки O, тоже образуют правильный треугольник. Этим будет все доказано, так как для правильного шестиугольника середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник, а любой из рассматриваемых нами шестиугольников может быть получен из правильного поворотами треугольников OCD и OEF.
Пусть Q' и R' — середины сторон DE' и AF' (рис.). При повороте на 60^o вектор переходит в вектор . Так как = /2 и  = /2, то вектор переходит в вектор при этом повороте. По предположению треугольник PQR правильный, т. е. вектор переходит в вектор при повороте на 60^o. Поэтому вектор = + переходит в вектор = + при повороте на 60^o, т. е. треугольник PQ'R' правильный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.022