ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57943
Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника ABCDEF внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Решение

Пусть K, L, M и N — вершины правильных треугольников, построенных на сторонах BC, AB, AF и FE; B1, A1 и F1 — середины отрезков KL, LM и MN (рис.). Пусть, далее, a = $ \overrightarrow{BC}$ = $ \overrightarrow{FE}$, b = $ \overrightarrow{AB}$ и  c = $ \overrightarrow{AF}$; R — поворот на 60o, переводящий вектор $ \overrightarrow{BC}$ в  $ \overrightarrow{BK}$. Тогда $ \overrightarrow{AM}$ = - R2c и  $ \overrightarrow{FN}$ = - R2a. Поэтому 2$ \overrightarrow{A_1B_1}$ = R2c + Ra + b и  2$ \overrightarrow{F_1A_1}$ = R2a - c + Rb, т. е. $ \overrightarrow{F_1A_1}$ = R($ \overrightarrow{A_1B_1}$).


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 2
Название Поворот на 60 градусов
Тема Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер 18.023

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .