Условие
На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника
ABCDEF
внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что
середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют
правильный шестиугольник.
Решение
Пусть
K,
L,
M и
N — вершины правильных треугольников,
построенных на сторонах
BC,
AB,
AF и
FE;
B1,
A1 и
F1 — середины отрезков
KL,
LM и
MN (рис.). Пусть, далее,
a =
=
,
b =
и
c =
;
R — поворот на
60
o, переводящий вектор
в
. Тогда
= -
R2c и
= -
R2a.
Поэтому
2
=
R2c +
Ra +
b и
2
=
R2a -
c +
Rb, т. е.
=
R(
).
Источники и прецеденты использования
