Задача 57949

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Для данного треугольника ABC, один из углов которого больше 120^o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

Решение

Пусть для определённости A = > 120^o. Докажем, что искомая точка — вершина A. Рассмотрим поворот с центром A на угол = 180^o - , при котором вершина B переходит в точку B', лежащую на продолжении стороны AC за точку A. Пусть точка O, отличная от A, при этом повороте переходит в точку O'. Треугольник OAO' равнобедренный с углом при вершине < 60^o. Поэтому OO' < AO, а значит, OA + OB + OC > OO' + O'B' + OCCB' = AC + AB. Но AC + AB — это как раз и есть сумма расстояний от точки A до вершин треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	3
Название	Повороты на произвольные углы
Тема	Поворот (прочее)
задача
Номер	18.029B