ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57949
Тема:    [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для данного треугольника ABC, один из углов которого больше 120o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

Решение

Пусть для определённости $ \angle$A = $ \alpha$ > 120o. Докажем, что искомая точка — вершина A. Рассмотрим поворот с центром A на угол $ \beta$ = 180o - $ \alpha$, при котором вершина B переходит в точку B', лежащую на продолжении стороны AC за точку A. Пусть точка O, отличная от A, при этом повороте переходит в точку O'. Треугольник OAO' равнобедренный с углом при вершине $ \beta$ < 60o. Поэтому OO' < AO, а значит, OA + OB + OC > OO' + O'B' + OC$ \ge$CB' = AC + AB. Но AC + AB — это как раз и есть сумма расстояний от точки A до вершин треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 3
Название Повороты на произвольные углы
Тема Поворот (прочее)
задача
Номер 18.029B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .