Дан треугольник ABC. Постройте прямую, делящую пополам его площадь и периметр.

   Решение

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Постройте прямую, делящую пополам его площадь и периметр.

Решение

Согласно задаче 5.50 прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр его вписанной окружности. Ясно также, что если прямая проходит через центр вписанной окружности треугольника и делит его периметр пополам, то она делит пополам и его площадь. Поэтому нужно провести прямую, проходящую через центр вписанной окружности треугольника и делящую его периметр пополам.
Предположим, что мы построили точки M и N на сторонах AB и AC треугольника ABC так, что прямая MN проходит через центр O вписанной окружности и делит периметр треугольника пополам. Построим на луче AC точку D так, что AD = p, где p — полупериметр треугольника ABC. Тогда AM = ND. Пусть Q — центр поворота R, переводящего отрезок AM в отрезок DN (точку A — в D, точку M — в N). Так как угол между прямыми AM и CN известен, точку Q можно построить: она является вершиной равнобедренного треугольника AQD, причем AQD = 180^o - A и точки B и Q лежат по одну сторону от прямой AD. При повороте R отрезок OM переходит в отрезок O'N. Точку O' мы можем построить. Ясно, что ONO' = A, поскольку угол между прямыми OM и O'N равен A. Поэтому точка N является точкой пересечения прямой AC и дуги окружности, из которой отрезок OO' виден под углом A. Построив точку N, проводим прямую ON и находим точку M.
Легко проверить, что если построенные точки M и N лежат на сторонах AB и AC, то MN — искомая прямая. Основной момент в доказательстве — доказательство того, что при повороте относительно точки Q на 180^o - A точка M переходит в точку N. Для доказательства этого факта надо воспользоваться тем, что ONO' = A, т. е. при этом повороте прямая OM переходит в прямую O'N.

Источники и прецеденты использования