Задача 57952

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

На векторах , где i = 1,..., k, построены правильные одинаково ориентированные n-угольники A_iB_iC_iD_i... (n4). Докажите, что k-угольники C₁...C_k и  D₁...D_k правильные одинаково ориентированные тогда и только тогда, когда k-угольники A₁...A_k и  B₁...B_k правильные одинаково ориентированные.

Решение

Предположим, что k-угольники C₁...C_k и  D₁...D_k правильные одинаково ориентированные. Пусть C и D — центры этих k-угольников, c_i = и  d_i = . Тогда = + + = - c_i + + d_i. Вектор переходит в вектор при повороте  R, где  — угол при вершине правильного n-угольника. Поэтому = + c_i + = + c_i + R(- c_i + + d_i). Точку X подберем так, что + R() = . Тогда = c_i + R(d_i - c_i) = Rⁱu, где u = c_k + R(d_k - c_k), R — поворот, переводящий вектор  c_k в  c₁. Следовательно, B₁...B_k — правильный k-угольник с центром X. Аналогично доказывается, что A₁...A_k — правильный k-угольник.
Обратное утверждение доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	3
Название	Повороты на произвольные углы
Тема	Поворот (прочее)
задача
Номер	18.030