Информация о задаче

Задача 57954

Тема:

[

Поворот (прочее)

]

Сложность: 7
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Решение

Предположим, что лев бежал по ломаной A₁A₂...A_n. Распрямим траекторию движения льва следующим образом. Повернем относительно точки A₂ арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A₃ попала на луч A₁A₂. Затем повернем относительно точки A₃ арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A₄ попала на луч A₁A₂ и т. д. Центр O арены цирка переходит при этом последовательно в точки O₁ = O, O₂,..., O_{n - 1}; точки A₁,..., A_n переходят в точки A₁',..., A_n', лежащие на одной прямой (рис.).
Пусть $\alpha_{i-1}^{}$ — угол поворота льва в точке A_i'. Тогда $\angle$ O_{i - 1}A_i'O_i = $\alpha_{i-1}^{}$ и A_i'O_{i - 1} = A_i'O_i $\le$ 10, поэтому O_iO_{i - 1} $\le$ 10 $\alpha_{i-1}^{}$ . Следовательно, 30 000 = A₁'A_n' $\le$ A₁'O₁ + O₁O₂ +...+ O_{n - 2}O_{n - 1} + O_{n - 1}A_n' $\le$ 10 + 10( $\alpha_{1}^{}$ +...+ $\alpha_{n-2}^{}$ ) + 10, т. е. $\alpha_{1}^{}$ +...+ $\alpha_{n-2}^{}$ $\ge$ 2998.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	3
Название	Повороты на произвольные углы
Тема	Поворот (прочее)
задача
Номер	18.032