Информация о задаче

Задача 57955

Тема:

[

Композиции поворотов

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360^o, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360^o.

Решение

Рассмотрим композицию поворотов R_BoR_A. Если A = B, то утверждение задачи очевидно, поэтому будем считать, что A $\ne$ B. Пусть l = AB, прямые a и b проходят через точки A и B соответственно, причем $\angle$ (a, l )= $\alpha$ /2 и $\angle$ (l, b) = $\beta$ /2. Тогда R_BoR_A = S_boS_loS_loS_a = S_boS_a.
Если a| b, то S_aoS_b = T_2u, где T_u — параллельный перенос, переводящий a в b, причем u $\perp$ a. А если прямые a и b не параллельны и O — точка их пересечения, то S_aoS_b — поворот на угол $\alpha$ + $\beta$ с центром O. Ясно также, что a| b тогда и только тогда, когда ( $\alpha$ /2) + ( $\beta$ /2) = k $\pi$ , т. е. $\alpha$ + $\beta$ = 2k $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	4
Название	Композиции поворотов
Тема	Композиции поворотов
задача
Номер	18.033