ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57955
Тема:    [ Композиции поворотов ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные  360o, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна  360o.

Решение

Рассмотрим композицию поворотов RB$\scriptstyle \beta$oRA$\scriptstyle \alpha$. Если A = B, то утверждение задачи очевидно, поэтому будем считать, что A$ \ne$B. Пусть l = AB, прямые a и b проходят через точки A и B соответственно, причем $ \angle$(a, l )= $ \alpha$/2 и  $ \angle$(l, b) = $ \beta$/2. Тогда RB$\scriptstyle \beta$oRA$\scriptstyle \alpha$ = SboSloSloSa = SboSa.
Если a| b, то SaoSb = T2u, где  Tu — параллельный перенос, переводящий a в b, причем u $ \perp$ a. А если прямые a и b не параллельны и O — точка их пересечения, то SaoSb — поворот на угол $ \alpha$ + $ \beta$ с центром O. Ясно также, что a| b тогда и только тогда, когда ($ \alpha$/2) + ($ \beta$/2) = k$ \pi$, т. е. $ \alpha$ + $ \beta$ = 2k$ \pi$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 4
Название Композиции поворотов
Тема Композиции поворотов
задача
Номер 18.033

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .